Wednesday, September 10, 2008

La secuencia de Fibonacci*

Edward Weston


Dada la siguiente secuencia 1,1,2,3,5,8,13,21,... ¿Podrías indicarnos cual es el número que sigue?
Se cuenta que Leonardo de Pisa (apodado Fibonacci) descubrió la secuencia** que ahora lleva su nombre cuando estaba tratando de calcular cómo se expandía una población de conejitos que él mismo criaba.***
Después de estar apareando y apareando esos bellos animales orejudos al ritmo de los golpes que provocan sus patitas, Fibonacci encontró la siguiente regla:

1) Una pareja de conejitos (bebés) tardaban un año para crecer y poder ser reproductivos.
2) Una pareja de conejitos maduros tardaban un año en tener otra pareja de conejitos.

Así que comenzando la reproducción con una pareja de conejos (bebés) y contabilizando las parejas de conejos por cada año se llegaba la siguiente situación.
En el primer año se tiene a la pareja de conejos bebés y hasta el siguiente año éstos serán adultos así que en cada uno de esos años se tiene 1 pareja de conejos por año. En el tercer año dado que la pareja tuvo tiempo para tener su familia es decir una parejita de conejitos, pues ahora serán 2 parejas; la pareja de conejos padres y la pareja de conejitos hijos. En el cuarto año los conejos adultos tendrán otra pareja de conejitos bebés y sumándolo a la pareja de conejitos bebés que se tenían y que ya crecieron hay ahora tres parejas. En el quinto año las dos parejas de conejos adultos tuvo su parejita de conejitos bebés (cada pareja) lo que da cuatro parejas y si le agregamos la pareja de conejitos bebés que ya había y que ahora son adultos se tienen 5 parejas de conejos, etc... ver la siguiente gráfica.





Claro uno puede objetar muchas cosas, como que tal si en el proceso de reproducción se daba la tendencia de tener más conejos que conejas o viceversa y por lo tanto no se lograba el equilibrio de parejas conejo-coneja. O que si los conejos se podrían morir, o si había conejos "gay", etc, etc.. Pero a los matemáticos les encanta hacer supuestos que les permitan divertirse con sus juguetes, y Fibonacci no era la excepción. De esta forma se obtiene la secuencia: 1,1,2,3,5,8,13..... que es la cantidad de parejas de conejos por cada año. Esta secuencia es la famosa secuencia de Fibonacci y tiene unas propiedades muy interesantes .......

Aunque no es muy realista el asunto de los conejitos, ilustra muy bien la secuencia de Fibonacci.
Sin embargo déjenme contarles que existen ejemplos más reales. El matemático Henry E. Dudeney (1857-1930) propuso uno de estos ejemplos utilizando vacas y toros.
Otro ejemplo tiene que ver con las abejas y lo platicaremos enseguida:
Las abejas productoras de miel es una de las especies de abejas más conocidas de las 30,000 especies que existen.
De las abejas productoras de miel sabemos por ejemplo:

1) Que en la colonia de la abejas existe una abeja muy especial llamada reina (es una abeja hembra), capaz de tener huevecillos que permiten la reproducción de la colonia.
2) Que existen abejas llamadas trabajadoras que aunque son hembras como la reina no producen huevecillos.
3) Que hay otras abejas (machos) que son unos holgazanes y no trabajan. Su única función es aparearse con la reina. Padre chamba ¿no?


Y entre toda esta información existe otro dato curioso:

Que las abejas machos solamente pueden generarse mediante los huevos no fertilizados de la reina, de manera que los machos únicamente tienen mamá (no necesitan papá). En cambio las abejas hembras se generan del apareamiento de la reina con una abeja macho de manera que las abejas hembras tiene papá y mamá.

Interesante ¿no?

Así que si generamos un árbol genealógico de cualquier abeja macho se ve: Que un macho tendrá como padres a una abeja hembra (1 ancestro) la cual a su vez tendrá como padres a una abeja macho y una abeja hembra (2 ancestros) quienes a su vez tendrán tres ancestros, a saber una abeja hembra (para el macho) y una pareja es decir un macho y una hembra (para la hembra), en seguida dado que hasta aquí hay dos hembras y un macho, los ancestros de estas son dos parejas (macho-hembra) lo que forma a 4 ancestros y una hembra, para el macho, lo que da un total de 5 ancestros....
De manera que el árbol genealógico de una abeja macho será:


Así que si generamos un árbol genealógico de cualquier abeja macho se ve:
Que un macho tendrá como padres a una abeja hembra (1 ancestro) la cual a su vez tendrá como padres a una abeja macho y una abeja hembra (2 ancestros) quienes a su vez tendrán tres ancestros, a saber una abeja hembra (para el macho) y una pareja es decir un macho y una hembra (para la hembra), en seguida dado que hasta aquí hay dos hembras y un macho, los ancestros de estas son dos parejas (macho-hembra) lo que forma a 4 ancestros y una hembra, para el macho, lo que da un total de 5 ancestros:




Si contamos el número de ancestros por generación se tiene:
1,1,2,3,5.....

Otra vez! La secuencia de Fibonacci...


Si le echamos un ojo a la secuencia de Fibonacci podremos ver que cualquier elemento de la secuencia está definido como la suma de los dos elementos aneriores ...
Por ejemplo dada la secuencia de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55...

vemos que el número 2 está definido como la suma de los dos elementos de la secuencia que le anteceden a saber: el 1 y el 1.
y que a su vez 8 está dado por la suma de los dos elementos de la secuencia que lo anteceden: 3 y 5.
Los matemáticos escriben esto como F(i)=F(i-1)+F(i-2),
pero no se espanten!
estos símbolos lo único que dicen es exactamente lo que comentamos anteriormente : cualquier número de la secuencia será el resultado de la suma de los dos elementos que lo anteceden.

¿Qué tal si prueban con otros números?, digamos con el 34, el 21 y el 5.


Recuerdan cuando alguna vez esperando sentirnos correspondidos por el ser amado deshojábamos una flor mientras repetíamos "Me quiere, no me quiere, poquito, mucho, nada, me quiere, no me quiere, poquito, mucho, nada.... ".
Pues resulta que no hubiera sido necesario deshojar la flor pues el número de los pétalos de la mayoría**** de las flores que hay en la naturaleza corresponde a un número de la secuencia de Fibonacci, así que podemos calcular con anticipación, la frase que corresponde al último pétalo, y por lo tanto saber si nos quieren, o no nos quieren, o nos quieren poquito, o nos quieren mucho, o nos quieren nada....









Bueno la próxima vez que estén cerca de un jardín y vean una flor, cuenten el número de sus pétalos, y verifiquen si corresponde a un número de la secuencia de Fibonacci o no. También pueden probar hacer esto con distintos tipos de flores y ver que pasa. Después de ver varias florecitas y corroborar la coincidencia, podríamos preguntarnos.
¿Porqué el número de pétalos de la mayoría de las flores coinciden con algún número de la secuencia de Fibonacci?

Tomemos otra vez la secuencia de Fibonacci,
1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55...
y apliquémosle la operación de división entre sus elementos, dividiendo los números de la secuencia entre su inmediato anterior.
De esta manera el segundo 1 de la secuencia se divide entre 1, el 2 se divide también entre 1, el 3 se divide entre 2 y así hasta obtener:
1/1, 2/1, 3/2, 5/3. 8/5, 13/8, 21/13, 34/21,...
Esto da como resultado:
1,2,1.5,1.6667,1.625,1.61538, 1.619,...
Si seguimos haciendo esta división entre dos número de la secuencia de Fibonacci y lo hacemos para números cada vez más grandes veremos que la el resultado se acercará a: 1.6138034. Bueno, para ser un poco más precisos a: 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766 72635 44333 89086 59593 95829 05638 32266 13199 28290 26788 06752 08766 89250 17116 96207 03222 10432 16269 54862 62963 13614 43814 97587 01220 34080 58879 54454 74924 61856 95364 ... Este número es conocido como la proporción áurea, o proporción de oro.

1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55...








Ahora fíjense en lo siguiente, dada las divisiones de los números de la secuencia de Fibonacci entre su antecesor:

1/1=1, 2/1= 2, 3/2=1.5, 5/3=1.66667, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.61538, 34/21=1.61765, 55/34=1.61765, 89/55=1.61818, 144/89=1.61798, 233/144=1.61806, 377/233=1.61803, 610/377=1.61804, 987/610=1.61803,...

podemos ver que entre más grandes son los números de la secuencia que dividimos más nos acercamos a la proporción de oro mostrada anteriormente. Y noten también que dos divisiones consecutivas de números de la secuencia de Fibonacci muy grandes están más cerca que dos divisiones consecutivas de números de la secuencia de Fibonacci pequeños y que entre más grandes sean los números que forman parte de dos divisiones consecutivas más se aproximan los resultados de dichas divisiones.
Ejemplo: Las divisiones consecutivas: 144/89=1.61798 y 233/144=1.61806 están más cerca que 3/2=1.5 y 5/3=1.66667.






Entre más grandes sean los números de la secuencia de Fibonacci que se dividan, es mayor la precisión que logra de la proporción de oro. También entre más grandes sean los números de la secuencia de Fibonacci que se dividan, dos divisiones consecutivas tendrán casi el mismo valor. Esto es importante que lo reflexionen pues lo veremos más tarde.

Ahora veamos esto desde un punto de vista geométrico.
Imaginemos una línea de tamaño 34 cm dividida en dos segmentos, el primer segmento llamado A que mide 13 cm y el segundo segmento B que mide 21 cm.


A.................B
|-------|-------------|
<---- A+B ---- >

Fíjense que al tamaño total de la recta le estoy asociando como tamaño un número de la secuencia de Fibonacci. Y a los dos lados que lo componen también tienen como tamaño dos números de la secuencia de Fibonacci. ¿Qué números?
Pues aquellos cuya suma da 34, o en otras palabras los números que lo anteceden en la secuencia, a saber 13 y 21.
De hecho aquí podemos usar cualquier número de la secuencia para formar el tamaño de la recta y de sus segmentos A y B. Podríamos decir que el tamaño total de la línea es de: 3 y sus lados A: 1 y B: 2 o de 5 con A: 2 y B:3.
De hecho el total de la recta en realidad es A+B (¿De acuerdo?) Así que otra posibilidad es: A+B= 8 con A=3 B=5 o A+B= 13 con A=5 B=8 etc...
y así nos podríamos seguir para cualquier número de la secuencia de Fibonacci. Pero ojo, ¡aquí hay algo interesante!


Los distintos tamaños del total de la recta y sus segmentos, asociados con los números de la secuencia de Fibonacci:

A+B........A.......B
3..........1.......2
5..........2.......3
8..........3.......5
13.........5.......8

Nos dice que la relación que existe entre el segmento más pequeño (segmento A) con el segmento más grande (segmento B) es la misma que la que tiene el segmento más grande (segmento B) con el total de la recta (que es A+B).
Estas relaciones en matemáticas se denotan como una división. Así que la relación entre el segmento más pequeño (el segmento A) con el segmento más grande (el segmento B) se escribe: A/B. A entre B.
Esta relación entre A y B se conoce como razón.
Así la razón entre el segmento más grande y el total de la recta es B/(A+B)
Entonces, la relación que existe entre el segmento más pequeño (segmento A) con el segmento más grande (segmento B) es la misma que la que tiene el segmento más grande (segmento B) con el total de la recta (que es A+B), y se expresa como A/B=B/(A+B)


Pero, A/B=B/(A+B) es ni más ni menos que la proporción áurea, o ¡ proporción de oro!]
¡El mismo número que mostramos anteriormente! ¿El mismo número? ¿Porqué?
Noten que la formulita A/B=B/(A+B) es en realidad la división de los números de la secuencia de Fibonacci entre su antecesor. "A" puede ser cualquier número de la secuencia y B es el número que le sigue (número mayor a A), y A+B es el siguiente número después de B. Pues si recuerdan la definición de la secuencia, ésta se forma a partir de la suma de los dos números anteriores. Pero además de esto aquí estamos diciendo que las divisiones consecutivas de los números de Fibonacci deben ser iguales. Y cuando puede suceder esto? Pues ya vimos que entre más grandes son estos números más se cumple esa igualdad, así que el momento en que se cumple esa igualdad es cuando los números de la secuencia de Fibonacci son infinitos. Es decir muy, pero muy, muy, muy grandes....tan grandes que como nunca podremos determinar el más grande (pues siempre habrá otro número más grande que el que hayamos conseguido previamente) sabemos entonces que la igualdad sólo ocurrirá en el infinito. ¡En el infinito es cuando se logra el número exacto de la proporción aurea!
¿Son demasiadas fórmulas?
Bueno, ¡olvidemoslas! y sólo recordemos la siguiente idea:

La relación que existe entre el segmento más pequeño con el segmento más grande de una recta dada (dividida en dos segmentos) es la misma que la que tiene el segmento más grande (segmento B) con respecto al total de la recta (que es A+B).



* Aunque es más conocida como ¨¨La serie de Fibonacci¨ en realidad se trata de una secuencia.
** Definición de secuencia: Si se tiene una ley según la cual a cada número natural, corresponde un número determinado, se dice que una secuencia de números ha sido dada. Ejemplo:{1/n}: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 etc.

*** En realidad hasta donde se sabe, la secuencia viene de tiempo atrás, como un legado de la cultura Indú.

**** Existe Otro grupo de flores cuyo número de pétalos tiene correspondencia con otra secuencia llamada la secuencia de Lucas. Hay otras flores también que no se sabe qué patrón siguen o si siguen algo. De cualquier manera el grupo de flores más grande lo tiene la serie de Fibonacci.







Artículo de José Manuel Gómez Soto
Unidad Académica de Matemáticas
Universidad Autónoma de Zacatecas

2 comments:

Valedor said...

Muy interesante doitor. Saludos a la bandera.

jm said...

Estimado valedor,

Muchas gracias por visitar la página y dejar sus comentarios que son muy bienvenidos.


Un abrazo
-jm